留学生学好这些再也不担心概率考试会挂科了

本系列笔记主要讨论分析部分的内容，对于初等的组合部分将快速带过。本系列笔记一般地来说，仅仅需要读者具备高中数学知识，以及分析学中有关积分和级数的知识即可。当然，我会将重点放在概念的解释，应用和一些传统概率统计课程所不太会关注之处。本系列笔记不会包含习题（实际上习题会在之后单独地进行整理），作为替代，文中实例会多一些（与初等数论笔记正好风格相反）。

一、基本概念

定义：

随机试验中出现的可能结果称为样本点，记作 $\omega$

所有样本点组成的集合称为样本空间，记作 $\Omega=\left \{ \omega|\omega为样本点 \right \}$ 。

当样本空间 $\Omega$ 仅有有限个元素时，称其子集为一个事件，用大写字母表示，如 $A$ 。

若样本点 $\omega\in A$ ，称事件 $A$ 发生，否则称事件不发生。

$\overline{A}=\Omega-A$ 称为事件 $A$ 的对立事件。容易知道 $\omega\in A\Leftrightarrow \omega\not\in \overline{A}$ ，反之亦然。

特别地， $A=\varnothing$ 时，事件称为不可能事件。 $A=\Omega$ 时，事件称为必然事件。

例：进行随机试验，掷一枚均匀的骰子1次。

由上述定义，样本点为试验的可能结果，为 $1,2,3,4,5,6$ 。

则样本空间为 $\Omega=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$

$A=\left \{ 1,2,3 \right \}$ 为一个事件，且既不是不可能事件又不是必然事件。

可能很多人看到这里都会认为将事件用集合来严谨地定义没有必要。事实上，这是我们稍后定义事件域，定义概率测度等等一切的基础。

既然我们知道了事件的本质是集合，自然地，我们会想到集合之间可以进行运算，那么事件之间也可以进行运算。

在此我们不详细地展开，只提及日后比较常用且重要的事件之间的运算。

设 $A,B$ 为事件。

我们之后用 $AB$ 来表示 $A\cap B$ 。特别地，当 $AB=\varnothing$ 时，我们称这两个事件互斥（不相容）。对多于两个事件，我们称这些事件互斥当且仅当这些事件中的任意两个都互斥。

而当 $A,B$ 为互斥事件时，我们记 $A\cup B$ 为 $A+B$ 。

我们接下来给出几个很常用的事件之间的运算公式，读者容易自证。

1、 $A\cup B=A+\overline{A}B, \ A=AB+A\overline{B}$

2、 $\overline{ \bigcup_{j=1}^n A_j }=\bigcap _{j=1}^n \overline{A_j}$ ， $\overline{ \bigcap_{j=1}^n A_j }=\bigcup _{j=1}^n \overline{A_j}$ 。（De-Morgan）